SAYILARIN GİZEMİ SERİSİ-I

Photo by Jon Tyson

SAYILAR VE SAYI SİSTEMLERİ

Matematiksel ruh, kendisini, insanların yaşadığı ya da eski yaşamlara ait maddi izlerin bulunduğu her yerde ortaya koyan başlangıçsal insani ögedir.

Sayılar ve sayı sistemlerine ait bir incelemeden Willi Hartner

Bu argümanını desteklerken daha çok matematiksel güdülerine güvendiğini ileri sürdüğü Taş Çağı sanatçısı örneğini alıntılar. Bu güdü soyutlanmış, geometrik formlar olarak kayıt altına alınmıştır.

Zamanla sayı kavramının, sonra da sayıların kendilerinin gelişmesine yardımcı olmuş ve en sonunda zaman ve mekanda
var olmanın çok katlı görünüşü soyut sayılarla sıraya sokulabilmiştir.

Karl Menninger başka bir güzel kitapta gösterdiği gibi, bu sıralama süreci olası ifadelerin çok katlılığını bulabilmiştir; bu çok katlılık, bizim gibi her şeyi miras aldığımız onlu sistem ve Arap sayıları çerçevesinde görmeye çalışan insanlar için çok şaşırtıcıdır. Üstelik Anglosakson ağırlık ve ölçme sisteminin bile, Alman ve Fransız geleneğinden gelen bir şeyi kavraması kolay değildir.

Sayı sistemleri farklı ritimlere göre oluşturulmuştur. Bilgisayarın temelini -ki bu temel Leibniz tarafından 1697 gibi çok erken bir tarihte geliştirilmiştir- oluşturan ikili sistemi anlamaya çalışan birisi bunu görür. Ayrıca onlu sistem en yaygın sistem gibi gözükse de, diğer sistemlerin de eşit önemde olduğunu kabul etmek zorundayız.

Devam etmeden önce kısaca birkaç sayma sistemine değinelim.

Bilgisayar ve bilgisayar programlama dillerinde dört farklı sayı sistemi kullanılmaktadır:

• Onlu (Decimal) sayı sistemi
• İkili (Binary) sayı sistemi
• Sekizli (Octal) sayı sistemi
• Onaltılı (Hexadecimal) sayı sistemi

Unutmadan belirtelim; sayı sistemlerini ifade eden değerler, söz konusu sayı sisteminde kullanılan rakam sayısını göstermektedir. Örneğin, sekizli sayısı sistemi, bu sistemde 8 adet rakam kullanıldığını ifade etmektedir.

Sayı sistemlerinde kullanılan rakamlar aşağıda gösterilmektedir:

İkili (Binary) Sayı Sistemi          :  0  1

Sekizli (Octal) Sayı Sistemi         :  0  1  2  3  4  5  6  7

Onlu (Decimal) Sayı Sistemi          :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi  :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  A  B  C  D  E  F 

Hangi sayı sistemi olursa olsun, elimizdeki sayının onlu sayı sistemine göre değerini hesaplamak için, her basamakta yer alan rakamın, sayı sisteminin rakam sayısı üzeri rakamın bulunduğu basamak sırası ile çarpımlarıyla elde edilen değerlerin toplamı alınır.

Onlu Sayı Sistemi

Günlük hayatımızda en çok kullandığımız sayı sistemi olup, bütün işlemler aşağıda gösterilen 10 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

İkili Sayı Sistemi

Bilgisayarlar elektronik devrelerden oluştuğundan ikili (binary) sayı sistemini kullanırlar. Bütün işlemler aşağıda gösterilen 2 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1

Bu rakamlar elektronik devrelerde 0 için yalnış 1 için doğru anlamına gelir.

11011001 ikili sistem sayısının onlu sayı sisteminde 217 olan karşılığının elde edilmesini inceleyelim:

Sekizli Sayı Sistemi

Bu sayı sisteminde aşağıda gösterilen 8 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Sekizli sayı sistemindeki 4753 sayısının onlu sayı sistemine çevrilişini örnek üzerinden incelemeye çalışalım:

4753 = 4 . 83 + 7 . 82 + 5 . 81 + 3 . 80

= 4 . 512 + 7 . 64 + 5 . 8 + 3 . 1

= 2048 + 448 + 40 + 3 = 2539

Her basamakta yer alan rakam 8 sayısının katları ile çarpılır. En sağda yer alan 8 sayısının katı 0 ile başlar ve sol tarafa doğru birer birer artar. Elde edilen değerler toplanarak sayı elde edillir.

Onaltılı Sayı Sistemi

Bu sayı sisteminde aşağıda gösterilen 16 adet ifade kullanılır. Diğer sayı sistemlerinden farkı rakamların yanı sıra harf kullanılmasıdır. Bilgisayarda ikili sistem sayılarının daha pratik ve kısa bir şekilde kullanılması için tercih edilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Sayı Sistemi

Onlu       0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11   12   13   14   15   

Onaltılı   0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    A    B    C    D    E    F

İkili     0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Onaltılı sayı sistemindeki 1AD4 sayısının onlu sayı sistemine çevrilişini örnek üzerinden incelemeye çalışalım:

1AD4  =  1 . 163  +  A . 162  +   D . 161  +  4 . 160   

      =  1 . 4096  +  A . 256  +   D . 16  +  4 . 1

      =  1 . 4096  +  10 . 256  +  13 . 16  +  4 . 1
	  
      =  4096 + 2560 + 208 + 4  =  6868

Her basamakta yer alan rakam 16 sayısının katları ile çarpılır. En sağda yer alan 16 sayısının katı 0 ile başlar ve sol tarafa doğru birer birer artar. Elde edilen değerler toplanarak sayı elde edillir.

Bu sayı sistemleri dışında özel bir anımsamayı hak eden eski Babil’deki altmışlı sistem de vardır: Bu sistem, ilk on birimden sonraki ikinci daha yüksek birim 60’la oluşturulmuştur. Bu bölümleme, dairenin derecelerinde olduğu kadar, günün saatlerinde, dakikalarında, saniyelerinde varlığını sürdürmektedir.

Birçok durumda sayma sistemleri ve sayılar oldukça basit bir biçimde 5 ya da 10 parmaktan türetilmiştir: Örneğin Roma sayıları, biçimleriyle bize parmak işaretleri esas alınarak oluşturulduklarını söylemektedir. Başparmağı hesaba katmamak 4’e kadar olan başka bir sayma biçimini oluşturur ve gerçekten de birçok uygarlıkta 4’ten sonra saymaya yeniden başlanır. Buna karşılık 10 parmak ayak parmaklarıyla birlikte yirmili bir sistem de oluşturmuş olabilir ve böyle bir sistemin Keltler, Basklar ve Avrupa’nın kuzeyinde ve batısındaki diğer halklarca biliniyor olması kuvvetli bir olasılıktır. Bugün bile Fransa’da SO’e, quatre-vingts, yanı 4×20 denir. İngilizce skor da (yirmi sayısı) bize aynı şekilde kadim yirmili sistemi anımsatır.

Temel parmak sayılarının parmak sayma tekniğiyle karıştırılmaması gerekir; bu sayılar eskiden öyle geliştirilmişti ki farklı parmak konfigürasyonlarıyla 100’e kadar sayılabiliyordu. Birler ve onlar sol elin parmaklarıyla, yüzler sağ elin parmaklarıyla belirtiliyordu. Örneğin sağ eli başparmağı ve işaret parmağının daire oluşturacak biçimde tutulması 100
demekti ve sınırlı sonsuzluğun sembolü olmuştu. Avrupalı tüccarlar bu sistemi Orta Çağ’ın sonlarına dek kullandılar ve Orıa Doğulu tüccarlar akıl almaz bir el çabukluğuyla bunu halen kullanmaktadır.

Doğuda da, özellikle Çin’de, kullanılan abaküs, küçük boncukları çubuk boyunca kaydırma ilkesiyle çalışan bu hesaplama aleti, en karmaşık işlemleri bile neredeyse yıldırım hızıyla yapılmasını sağlıyordu. (Hesaplama (calculus) terimimiz çakıllarla saymaya gönderme yapan “çakıl”dan (calcule) türemiştir.)

Her uygarlığın sayılar için kendi işaretleri vardır. İnkaların renkli düğümlerini (quipus) veya borçların farklı türden kesiklerle oyulduğu çeteleyi i (Almanca Kerbholz) ele alabiliriz. Günah işlemek veya yasadışı işler yapmak anlamındaki Almanca Etwas auf dem Kerbholz haben, “birisinin çetelesinde olmak,” ifadesi çetele hesabıyla saymaya gönderme yapar.

Fenikeliler ve geç dönem Romalılar görece olarak ilkel sayı formları kullanırken eski Mısır’da sayılar resimliydi. Daha karışık matematik işlemleri için, alfabenin harf erinin de sayıları temsil ettiği başka sayma sistemlerinin daha pratik olduğu kanıtlanmıştı. Bu yöntem Yunanistan’ın ilk dönemlerinde kullanılmış olup İbranice ve Arapçada halen mevcuttur. Arapçada kullanılmasında, harflerin eski Sami dilleri esasınca dizilmesini izleyen Arap alfabesine ebced denilir ve her harfin iki anlamı olduğundan dolayı, isimler, anlamlı sözcükler ve sayılar (yüzyıllardır Kabalada yapılageldiği gibi) arasında kolayca bağlantılar kurulabilir. Vahiyler Kitabı’ndaki 666 sayısı buna
örnek verilebilir: Sayısız yorumcu, onda, kendi zamanlarının “Yaratık”ına vücut kazandırmış gözüken kişilerin adlarını bulmuştur. İslami gelenekte ince ebced hesapları yapma sanatı çok gelişmişti ve sonraki zamanlarda bir kitabın başlığı bitiriliş tarihini içerir oldu. Örneğin Bagh u bahar’ın (Bahçe ve Bahar) Farsça başlığı sayısal değerleriyle (2+1+1000+6+2+5+1+2+ 200), İslami takvimle 1216 (Miladi takvimle 1801/2) yılında bitirildiğini gösterir. Benzer şekilde uygun sözcük ve cümleyle birisinin ölüm tarihi de verilebilir ve bu sanat doğudaki Müslüman ülkelerde belli bir yetenekle uygulanmıştır.

Willi Hartner, Çin sayı sisteminin, büyü ve gizemcilikten çok, yaygın olan bu tür harf-sayılara göre daha üstün olduğunu düşünür ama ona göre daha da gelişmiş olanı hayli soyut Sümer ve Babil sayı sistemleridir. Gerçekten de eski Mezopotamya ilk zamanlarda astronomi ve matematiğin geliştirildiği yerdir ve bugün kullanageldiğimiz belli sayıların anlamlarının çoğunu Mezopotamyalılara borçluyuz (7’nin ilahiliği, 60’ın önemi). Ama Hartner’a göre sayıların en gelişmişi, çok büyük sayılar gerektiren ‘astronomik hesaplamalarla uğraşan ve şaşırtıcı biçimde hatasız olan Maya sistemidir. Gerçekten de Venüs gezegeninin güneş çevresindeki 65 synodik dönüşünü esas alan çok eski takvimleri, diğer takvim sistemlerine göre daha hatasızdır.

Bizim “Arapça” sayılarımıza gelince, onların Hint kökenli olduğu, sağdan sola olan Arapça el yazısı kullanıldığında bile soldan sağa doğru olması gerçeğinde kolayca anlaşılabilir. Arapların İslamiyetin ortaya çıkışından kısa bir süre sonra benimsedikleri Hint sistemi, daha karmaşık işlemlerin yapılmasına olanak sağlayan sıfırı içerir. Hint kaynaklarında sıfıra shunya, “boşluk” denir; bu öyle bir boşluktur ki sayılar arasındaki satırları doldurur ve böylece birler, onlar vb. basamağındaki bir sayının kolayca ayırt edilmesini sağlar. Hint kaynakları bu ifadeyi MS 16. yüzyıl gibi erken tarihlerde kullanmıştır; Orta Doğu’da ilk olarak MS 662 tarihli bir Suriye kitabında dokuz adet Hint sayısına rastlanmıştır. Batının bu uygulamaları yapmasından uzun süre önce Arap bilginleri matematik çalışmalarında bunları kullanıyordu. Muhammed ibn Musa el-Harezmi’nin Kitab el-muhtasar fi hisab el-cebr ve’l-mukabele (Cebir ve Denkleme Hesabı Hakkında Özetlenmiş Kitap) adlı kitabı MS 800 yılından hemen sonra yazılmış ve yaklaşık olarak 1143 yılında Chesterli Robert tarafından Latinceye çevrilmişti. Arap sayılarıyla ilk tanışmayı sağlayan bu kitap Batıya yalnızca “cebir” (eI-cebr) kavramını değil, sözcük anlamı olmayan yazarının adının, Harezmi’nin, yanlış söylenmesinden kaynaklanan algoritma terimini de sağlamıştır. Bununla birlikte Arapça sayılar Avrupa’da oldukça yavaş da olsa alındı ve kabul edildi. Zeki Pisalı bilgin Leonardo Fibonacci (ö. 1250) ve Sacroboscolu John Arapça sayıları öğrenip, sonsuz olanaklarını açıklamaya çalıştılar. Menninger, yaklaşık olarak 1240 yılında, Fransisken Fransız rahip Alexander de
Villa Dei’nin yeni matematiksel buluşlar karşısında çok heyecanlanıp, Algor adında bir Hint kralının bulduğunu sandığı yeni bir hesaplama biçimine dair 244 dizelik Cannen de aigorisma şiirini yazdığını söyler.

Önceki sayı sistemlerinde bilinmeyen sıfır, adının tarihinden bile çok belli olan bir karışıklığa yol açtı. Arapçası olan sıfr’dan, cifra, chiffre ve bir yandan Almanca Ziffer, öte yandan İngilizce zero türetilmiştir.

Sol: Mayaların sıfır için kullandığı işaret boş istiridye, xok idi. Xok sözcüğü esas olarak yuvarlak, eğri şey, daha kesin olaraksa “oyuk” demekti ve nesneyi ve doğasını belirlemekten geliyordu. Mayaların zekice bir buluşu da sıfırı ayrıca
bir sayının konumunun değerini belirlemede kullanmaktı. Sağ: Yirmi için kullanılan işaret.

Kendi başına bir anlamı olmayan, ama kendisinden önce ya da sonra gelen sayılara anlam kazandıran bu sıfır, 15. yüzyıl gibi geç tarihlerde bile umbre et encombre, “karanlık ve engelleyici” olarak görülüyordu ve Almancası null, nulla figura, “gerçek” bir rakam olmayandan türetilmişti. Ama sıfır, Hindistan ve oradan geçtiği İslami dünya ve en sonunda getirildiği Avrupa’yla sınırlı değildi; Mayalar ve belki de onlardan önce Olmekler, Hindistan’da bulunuşundan tamamen ayrı olarak ve anlaşıldığı kadarıyla da Hintlilerden önce sıfırı biliyorlardı. Yirmili Maya sisteminde 19 sayısını sıfır izliyordu. Bu sistemin Mayalarca ya nokta-çizgi kombinasyonları ya da baş biçimindeki yivlerde kullanılıyordu.

Dünyanın hiçbir yerindeki sayılar ve sayma sistemleri aynı, hatta benzer bile olmadığından, bütün uygarlıkların aynı sayma veya hesaplama biçimini kullandığını varsayamayız. F. C. Endres, sayı sembolizmi üzerine olan kitabının girişinde, bu yüzyılın başında, uzak Türk köylerinde, matematiksel bir ifadeyi nasıl denediğini anlatır:

“Bir vesileyle bir çocuktan yere yerleştirdiğim elmaları saymasını istedim. Parmaklarının yardımıyla denedi, ama 5’ten yukarı çıkamadı. 5 ile 10 arasında hata yapıyordu ve önüne 10’dan fazla elma koyup soymasını söylediğimde, basitçe çok elma olduğunu söyledi, ama belli bir sayı söyleyemedi.”

Aynı yazar bir dereye taş atıp saymasını söylediğinde, çocuğun sayma dizisi 3, 4’ten yukarı hiç çıkamamış:

“Görülebilir bir şeyleri sayarken en azından parmaklarını kullanabiliyor ve ne saydığını görebiliyordu, ama zamanda bir şeyleri saymak daha sorunsaldır, çünkü insan bir edimin ya aynı şekilde ya da benzer şekilde hangi sıklıkta yinelendiğini anımsamak zorundadır.”

Seslerin, bağırışların ya da ritmik birimlerin iki üç misli yinelenmesi genellikle bilinebilir, ama başka gruplar ve dizilerin -en azından bize- sayılması daha güç gözükmektedir. Bu, karmaşık Ermeni müziğinin ritmik kalıpları, hatta daha karmaşık Hint müziğini izlemeye çalışarak denenebilir; genellikle çok geçmeden dizi kaybedilir ve doğru olarak saymayı sürdürmek mümkün olmaz. Ve bazı Afrika kabileleri vardır ki, bizim anlayışımıza göre güçlükle “sayabilmektedir,” ama bize çok garip gelen bir şekilde çok büyük miktardaki nesneleri bile sayabilmekte ve büyük bir sürüden tek bir hayvan bile eksilse hemen fark etmektedirler.

Bazı kültürlerde sayısal sözcükler sayılmış nesnelerle bağlantılıdır, 6 uzun parça için kullanılan ifade 6 inek veya 6 bitki için kullanılandan tamamen farklı olabilir böylesi sınıflandırmalar daha yaygındır. Papua’da böyle 20 sayı grubu ayırt edilir; öyle ki bu sayı gruplarının her biri sayılmış nesnelerle bağlantılıdır. Alman dili geleneğinde de böyle saymanın izleri bulunabilir – dokumalar yarda (Almanca Elle) ile ölçülür, yükseklik feet, suyun derinliği fathom (Almanca Faden), gemilerin hızı knots (Knoten, deniz mili) ile. Sayı-sözcükler özellikle farklı hayvan türleriyle yaygın olarak kullanılır; örneğin köpek sürüsü (Almanca Meute), yarış atı grubu (Almanca Koppel), koyun sürüsü (Almanca Herde), keklik sürüsü (Kette) . Böyle kavramlar, J. Lipton’un eğlenceli kitabı, Tarlakuşlarının Aşka Gelişi’nden (1977) anlaşılabileceği gibi avcı deyimlerinde hala çok canlı bir biçimde yaşamaktadır. Belli ev eşyaları ya da yiyecek içecek maddelerini ölçerken, yumurtalar için Schoch (altmış), Stiege (yirmi) ve Mandel (onbeş) gıbi Almanca ifadeler bulunmaktadır. Ordu bölüklere, süvarilere vs. ayrılır – bütün bu sözcüklerin gerçek bir sayısal değeri vardır. Ve Almanca 2 Stüch Vieh, iki “parça” sığır ya da İngilizce “bir çift keklik” denilmesi, bir dizi çevrilemeyen ve farklı hayvan türlerine gönderme
yapan sayma sözcükleri olan İranlılar hatırlatır: yah zinjir fil, bir fil demektir, yoksa sözcüğü sözcüğüne çevirisinde olduğu gibi “bir dizi fil” değil.

Bu ifadelerden hiçbirisinin gizemli bir anlamı yoktur ve büyüyle de bağlantılı değildir, sadece ilk uygarlıklarda olduğu gibi sayıların, çevrelerinde bir manyetik bir güç alanı olması gibi bir gerçekliği vardır: Levy-Bruhl’un formüle ettiği gibi, “iş görürler.” Veya eski Hindistan’da iddia edildiği gibi, sayı “Brahma-doğalı” anlamdır, Tanrısala benzer. Gerçekten de, belli eski Hint metinlerinde sayılara tapılmaktadır: “Selam olsun 1’e, selam olsun 2’ye, selam olsun 100’e … . ” Sayıların özel karakterine dair böylesi hisler kuşaktan kuşağa geçmiştir ve görünüştü daha ciddi ve gizemcilikten uzak sayı sistemimiz bile 10 parmağa, ayın 4 aşamasına ve yılın 12 ayına indirgenebilir; kimi gizemli imalar her zaman sürdürülmüştür. Böylece sayılar onları, büyük işler ve elbette ki astrolojik kehanetler için uygun kılan özel ve gizli güçlere göndermede bulunurlar. “Yüksek” dinler bile belli sayıların dinsel önemini ve gizemli karakterini kabul ederler,
üstelik yalnızca Orta Çağ’da değil günümüzde de. Uygulayıcıların olaylar üzerinde kendi yararlarına ya da diğerlerinin zararına etkide bulunmak için belli formüllere başvurdukları büyüde sayıların doğru kullanımı can alıcı bir rol oynar; her sayı kendi güç alanı ve kozmik bağlantıları içinde gözükür ve böylece, ezberden yinelemelerin ve büyü formüllerinin, arınmaların ve tavaf etmenin doğru sayısının yanı sıra doğru sayının kullanımının büyü uygulamalarının başarısı için mutlak belirleyici olduğu düşünülmektedir.

Kaynakça

file:///C:/Users/murer/Downloads/Sayilarin_Gizemi_Annemarie_Schimmel_pdf%20(1).pdf

http://www.volkanaltintas.com/ders_notlari/sayi_sistemleri.pdf

https://www.bilgigunlugum.net/prog/cprog/c_saysis

https://www.academia.edu/36208165/Say%C4%B1lar%C4%B1n_Gizemi_Annemarie_Schimmel_pdf