TRİGONOMETRİYE GİDEN YOL

Photo by ryota nagasaka

Trigonometri (Yunanca trigōnon “üçgen” + metron “ölçmek” ), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalıdır.

Trigonometri elbette bir geometri dalıdır, ancak doğası gereği hesaplamalı olması nedeniyle Öklid’in ve eski Yunanlıların sentetik geometrisinden farklıdır. Örneğin, Elementlerin Önerme I.4’ü, bir üçgenin herhangi iki açı ve aralarındaki kenar tarafından belirlendiğini belirten açı-yan-açı uyum teoremidir. Yani, kalan açıyı ve kalan iki kenarı bilmek istiyorsanız, tüm yapmanız gereken verilen kenarı ve iki açıyı uçlarına yerleştirmek, diğer iki kenarı birleşene kadar uzatmak ve elde üçgen. Sayısal hesaplamalar dahil değildir.

Ancak trigonometrik versiyon farklıdır. İki açının ölçümleri ve aralarındaki kenarın uzunluğu varsa, sorun kalan açıyı (ki bu kolaydır, iki dik açıdan iki açının toplamını çıkarmanız yeterlidir) ve kalan iki kenarı hesaplamaktır (ki bu zor). Son hesaplamanın modern çözümü sinüs yasası aracılığıyladır.

Üçgenlerle ilgili erken çalışmalar Mısır matematiği (piramitler), ve Babil matematiğinde (Plimpton 300 çivi yazılı tablet) MÖ 2. yüzyıla kadar izlenebilir. Sistematik çalışmalar ise Helenistik (Yunan) matematiğinde başlamıştır.

Mısırlılar MÖ 2. binyılda Piramitleri inşa etmek için ilkel bir trigonometri biçimi kullandılar. Mısırlı yazar Ahmes (MÖ 1680-1620) tarafından yazılan Rhind Matematik Papirüsü, trigonometri ile ilgili aşağıdaki problemi içerir:

“Bir piramit 250 arşın (cubits) yüksekliğinde ve tabanının kenarı 360 arşın uzunluğunda ise, onun seked’i (dik piramidin üçgen yüzlerinin eğimini tanımlayan terim) nedir?”

Ahmes’in probleme çözümü, piramidin tabanının yarısının yüksekliğine oranı veya yüzünün yükselme oranıdır. Başka bir deyişle, seked için bulduğu miktar, piramidin tabanına ve yüzüne olan açının kotanjantıdır.

Eski Mısır seked ölçüsünün Büyük Piramit’in eğimiyle karşılaştırmasının çizimi

Plimpton 322 ise Babil’de bulunan çivi yazılı bir kil tablettir. Tableti özel kılan ise matematiksel içeriğidir. En önemlisi Plimpton 322 olan yaklaşık 400 tablet sayesinde Babil dönemi matematiği analiz edilmiştir. Tabletin milattan önce 1800 ila 1650 yılları arasında yazıldığı tahmin edilmektedir.

Alman bilim insanı Otto Neugebauer 1945 yılında yayınladığı makalesinde Plimpton 322’nin bir pisagor üçlüsü olduğu tezini ileri sürmüştür. Böyle bir tez, babil döneminde antik mezopotamyalıların Pisagor’dan neredeyse bin yıl önce bu bilgilere sahip olduğunu göstermektedir. Plimpton 322’nin hangi amaç ile yazıldığı bilinmemektedir.

Alan MÖ 3. yüzyılda Yunanistan’da ortaya çıkmış olsa da, en önemli katkılardan bazıları (sinüs fonksiyonu gibi) MS beşinci yüzyılda Hindistan’dan geldi. bilim adamları trigonometriyi bağımsız olarak veya Yunan etkisinden sonra geliştirdiler. Victor Katz’a göre “ A History of Mathematics (3rd Edition) ” (Pearson, 2008),

“Trigonometri öncelikle Yunan ve Hintli gökbilimcilerin ihtiyaçlarından geliştirilmiştir.”

Günümüzde trigonometri dediğimiz alanın gelişimi tarihsel olarak astronomi ile oldukça bağlantılıdır. Eski Yunanlılar zamanından ve Orta Çağ boyunca gökbilimciler yıldızların, gezegenlerin ve gök cisimlerinin konumlarını hesaplamak için trigonometrik oranları kullandılar. Bu nedenle bahsedeceğimiz kişilerin çoğu matematikçi olduğu kadar gökbilimciydi.

Bettani, trigonometrinin mucidi olarak kabul edilir. Astronomi çalışmaları sırasında trigonometriden yararlanmış, küre ve düzlem trigonometrisi üzerine araştırmalar yapmıştır.

Modern trigonometrinin temelleri MÖ 300’lerden bir süre önce Babilliler daireyi 360 dereceye böldüğünde atıldı. Birkaç yüzyıl içinde Yunanlılar, dairenin diğer bölümleriyle birlikte bu daire ölçüsünü benimsediler ve daireyi dakika ve saniyelere ayırdılar. Gezegenlerin hareketlerini açıklamaya çalışırken, ilk gökbilimciler üçgenlerin bilinmeyen kenarlarını ve açılarını çözmeyi gerekli buldular. Trigonometrinin babası olarak da bilinen Yunan astronom Hipparchus (190-120 MÖ) bu çabaya yardımcı olacak trigonometrik oranların bir listesini hazırlamaya başladı. Hipparchus ayrıca sinüs için yarım açı formülü türetmeyi başardı.

Hipparchus’tan sonra trigonometriye katkıda bulunduğu bilinen bir sonraki Yunan matematikçi Menelaus’tur. Menelaus’un hayatı hakkında çok az şey biliyoruz. Ptolemy, Menelaus’un MS 98 yılında Roma’da gözlemlediğinden bahseder. Bu nedenle MS 70 civarında doğduğuna inanılmaktadır . Hem Pappus hem de Proclus ona İskenderiyeli Menelaus diyorlar, bu yüzden zamanının bir kısmını Roma’da ve İskenderiye’de geçirdiğini varsayabiliriz. İskenderiyeli Theon’un bahsettiği akorlar üzerine altı kitaplık bir inceleme yazdı, ancak bu kitapların hepsi kayboldu. Hayatta kalan tek eseri Sphaerica adlı üç kitaplık bir eserdir., üçüncü kitabı trigonometrinin gelişimi hakkında bazı mükemmel bilgiler içeren ve küresel trigonometri üzerine hayatta kalan en eski eserdir. Ne yazık ki bu metnin Yunanca versiyonu kayıp ve geriye sadece orijinali yazıldıktan bin yıl sonra tercüme edilen Arapça versiyonu kaldı. Daha da kötüsü, yıllar boyunca çeşitli çevirmenler esere kendi yorumlarını dahil ettiler ve orijinali müfessirlerden ayırmak zorlaşıyor. Bununla birlikte, bu çalışma hala Yunan trigonometrisinin gelişimi için iyi bir kaynak sağlamaktadır.

Sphaerica’nın ilk kitabında, küresel bir üçgenin bilinen ilk kavramı ve tanımı vardır . Menelaus, küresel bir üçgeni, üçgenin kenarlarının veya bacaklarının her birinin bir yarım daireden daha az bir yay olduğu kısıtlamasına tabi olan bir kürenin yüzeyindeki büyük dairelerin yaylarının kapsadığı alan olarak tanımlar. Daha sonra, Öklid’in düzlem üçgenlerle ilgili önermelerine karşılık gelen küresel üçgenlerle ilgili temel önermeleri vermeye devam eder. İkinci kitap sadece astronomik ilgiye sahiptir. Üçüncü kitap trigonometrik oranları içerir. Üçüncü kitaptaki ilk önerme, Menelaus’un küresel bir üçgen ve bir üçgenin kenarlarını kesen herhangi bir enine (büyük daire) ile ilgili teoremidir. Küresel bir üçgen kullanmak yerine, önermesini kesişen iki büyük daire şeklinde ifade eder. ” bu, küresel trigonometri için Menelaus’un teoremidir.

Üçüncü kitabın geri kalanı, astronomik çalışma için gerekli olan trigonometrik önermelerden oluşur. Yunan döneminde trigonometriye son büyük katkı Ptolomy’dir.

Antik astronomi üzerine en etkili kitap, Claudius Ptolemy’nin Mathematical Syntaxis (Mathematical Collection) ya da diğer adıyla The Almagest‘ dir.

The Almagest’in Arapça çevirisinden sayfalar

Bu şaheser, Yunan modeline göre, evrenin tam bir tanımını içerir ve birçok kişi tarafından Yunan astronomisinin doruk noktası kabul edilir. İlginçtir ki The Almagest, Antik Yunan Astronomisi ile ilgili günümüze ulaşan tek kapsamlı çalışmadır. The Almagest 13 kitap içerir. Günümüzde bilimin genel varsayımlarından tutun da Ayın ve o sırada bilinen tüm gezegenlerin hareketlerine kadar birçok konu içerir. Sadece I. kitabının bir bölümünde trigonometri ile ilgili bilgiler vardır. I. kitabın 10. bölümü, bir çemberdeki akorların boyutu üzerinedir ve bugün sinüs tablosu olarak görülebilen 90º’ye kadar her açı için çeyrek derece aralıklarla ünlü bir akor tablosu içerir.

Ptolemy’nin akor tablosu, Johannes Müller (Regiomontanus) 1467′ de tabula fecunda (fruitful table)‘yı yayınlayana kadar fazla gelişme olmaksızın yüzlerce yıl Avrupa’da kullanıldı.

Regiomontanus İle trigonometri

15. yüzyılın ortalarına kadar trigonometri yöntemleri içeren eserler astronomideki pratik kullanımına oldukça yakındı. 1463 civarında yalnızca trigonometri ve üçgenler ile ilgilenen ilk metin, De Triangulis Omnimodis (On Triangles of Every Kind ya da sadece On Triangles) Regiomontanus olarak da bilinen astronom Johannes Müller tarafından yazılmıştır. Müller içerisine şunları yazdı:

You who wish to study great and wonderful things, who wonder about the movement of the stars, must read these theorems about triangles. Knowing these ideas will open the door to all of astronomy and to certain geometric problems.
Büyük ve mükemmel şeyleri öğrenmek isteyen, yıldızların hareketini merak eden kişiler üçgenler hakkındaki bu teoremleri mutlaka okusun. Bu fikirleri bilmek tüm astronomi ve bazı geometrik problemlere kapı aralayacaktır.

Regiomontanus, 6 Haziran 1436’da Almanya’nın Königsberg kasabasında doğdu.. Babası muhtemelen bir değirmenciydi, oldukça iyi durumdaydı, en azından oğlunu üniversite için Leipzig-Viyana’ya gönderecek kadar parası vardı. Genç Regiomontanus, genç yaşta astronomi ve matematikte olağanüstü başarı gösterdi. 12 yaşında Leipzig’de üniversiteye kaydoldu. Ayrıca 12 yaşındayken, yılın her günü için gezegenlerin konumlarını ilk kez basılan Gutenberg takviminden daha iyi hesapladı.

1450’de Regiomontanus, özel matematik programıyla tanınan Viyana’daki özel bir üniversiteye kaydoldu. Fakülte diplomasını 1452’de aldı ve 1457′ de yüksek lisansını yaptı. Aynı yıl Viyana’daki üniversitenin fakültesine atandı.
Akıl hocası George Peuerbach’ın 1461’deki ölümüne kadar öğretim üyesi olarak kaldı. İtalya’ya gitti ve 1464’te Venedik’te On Triangles’ı tamamladı.

Regiomontanus, nadir bulunan kitap meraklısıydı ve İtalya’da kaldığı süre boyunca ya kopyalayarak ya da doğrudan satın alarak oldukça nadir eserler topladı. Hayatının ilerleyen zamanlarında, diğer şeylerin yanı sıra, eski Yunanlıların eserlerinin hevesli bir yayıncısı olacaktı.

1467 yazında, İtalya’da birkaç yıl seyahat ettikten sonra Regiomontanus, Macaristan Kralı Mathias’ın Budapeşte’deki yeni Kraliyet Kütüphanesi’nin kütüphanecisi olma davetini kabul etti. Orada çok iyi karşılandı çünkü kısmen astrolojiyi de kullanarak kralın ciddi bir hastalıktan iyileşeceğini öngördü. Regiomontanus, bundan sonraki dört yıl Macaristan’da Kral ve başpiskopos için astronomik gözlemler ve gözlem ekipmanı yaptı. Ayrıca bu süre zarfında, Regiomontanus, George Trebizond tarafından yapılan Almagest’in çevirisini eleştirdi ve bu, sonunda hayatına mal olacak bir eylemdi.

1471’de Regiomontanus Macaristan’dan ayrılarak özel bir ilgisi olan Nürnberg şehrine gitti. Memleketine yakındı ve akademik faaliyetin merkezi haline gelmişti. Yayıncılık çalışmalarının çoğunu burada yaptı. Yaşamı boyunca yayınlamayı planladığı matematik ve astronomi üzerine 41 farklı kitap listeledi. Hepsini yayınlayamadı çünkü 1475’te hüküm süren Papa IV. Sixtus, Jülyen Takvimini gözden geçirmesi için onu Roma’ya çağırdı. Gönülsüzce gitti ve bir yıl içinde Trebizond oğulları tarafından zehirlenerek öldü. Regiomontanus ölümünden sonra çok övüldü ve hayattayken zamanının bir dehası, büyük bir astronom ve matematikçi ve kitlelere bilgi getirmekten zevk alan biri olarak biliniyordu.

Regiomontanus, On Triangles adlı kitabında, önceki çağların (özellikle Ptolemy) astronomlarının ve matematikçilerinin çalışmalarını trigonometri üzerine tek bir çalışmada toplar. Gerektiğinde açık örnekler ve açıklamalar verir ve bazı durumlarda eskilerin yöntemlerini geliştirir. Sık sık Öklid’in The Elements adlı eserinden alıntı yapar ve bu çalışmanın aksiyomlarını kendi içinde kapsamlı bir şekilde kullanır.

The Elements’in ilk baskısından bir görüntü

Kitap I’in Teorem 20’sinde Regiomontanus şunları belirtir:

In every right triangle, one of whose acute vertices becomes the center of a circle and whose hypotenuse its radius, the side subtending this acute angle is the right sine* of the arc adjacent to that side and opposite the given angle, and the third side of the triangle is equal to the sine of the complement of the arc.
Dar köşelerinden biri dairenin merkezi ve hipotenüsü yarıçapı olan her dik üçgende, bu dar açının altındaki kenar, o tarafa bitişik ve verilen açının karşısındaki yayın sağ sinüsüdür* ve üçüncü kenarı yayın tümleyeninin sinüsüne eşittir.
*”Sağ sinüs” terimi, sinüsü, artık kullanılmayan, ters sinüs olarak adlandırılan dairenin başka bir bölümünden ayırt etmek için kullanılır (şekil 1’de, ters sinüs, versin olarak gösterilen doğru parçasıdır). Buradan itibaren “sağ sinüs” ve “sinüs” birbirinin yerine kullanılabilir.

Regiomontanus’un teorem açıklamasını takip ederek bu ifadeyi biraz daha yakından inceleyelim:

If a right ∆ ABC is given with C the right angle and A an acute angle, around the vertex of which a circle BED is described with the hypotenuse – that is, the side opposite the largest angle – as radius, and if side AC is extended sufficiently to meet the circumference of the circle at point E, then side BC opposite BAC is the sine of arc BE
subtending the given angle, and furthermore the third side AC is equal to the right sine of the complement of arc BE.
C dik açı ve A dar açı ile bir dik ∆ ABC verilirse, BED dairesinin hipotenüsle – yani en büyük açının karşısındaki kenarla – yarıçap olarak tanımlandığı tepenin etrafında ve eğer AC tarafı E noktasındaki dairenin çevresini karşılayacak kadar uzatılırsa, o zaman BC tarafının karşısında BAC açısı verilen açıyı kesen BE yayının sinüsüdür ve ayrıca AC üçüncü kenarı, BE yayının tümleyeninin sağ sinüsüne eşittir.

Şekil 2, Regiomontanus sinüslerinden birinin basitleştirilmiş bir versiyonunu göstermektedir [2, türetilmiş]. 90º’nin sinüsünün 60.000 olduğuna dikkat edin. 90º’lik sinüse tüm sinüs de denir ve dairenin yarıçapı ile aynıdır.

Şekil 2’deki açıların bazı sinüslerini bu açıların sinüslerinin modern değerleriyle karşılaştırın. Bir (tamsayı) açının sinüsünün modern değerine ulaşmak için Regiomontanus’un tablosunu nasıl kullanabiliriz?

Sinüs tablosunun ne olduğu ve nereden geldiği hakkında daha iyi bir fikir edinmek için, şekil 2’deki belirli bir açının sinüsünü bu açı için modern sinüs değeriyle karşılaştıralım ve gerçekte ne olduğunu görelim.

Bir açı seçtiğimizde, bir köşesi daire üzerinde ve diğeri dairenin merkezinde olan bir üçgen oluşturabiliriz ve hangi üçgen oluşturulursa oluşturulsun hipotenüsü (tüm sinüs) 60.000 (durumda) olacaktır. Bir birim çemberin hipotenüsü 1) olacaktır.

25º seçersek, sinüsünün 25,357 olduğunu görürüz. Bu gerçekten ne anlama geliyor? Bu, üçgenin bu açının karşısındaki kenarının üçgenin hipotenüsüne oranının 25357/60000 olduğu anlamına gelir.

Birim çemberi kullanırsak, bunun yerine TI-89 hesap makinesine göre yaklaşık 42262 olan sinüs 25º için modern değeri kullanmalıyız. Birim çemberde hipotenüs 1’dir, yani 25º açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı 42262/1’dir. Ya da sadece 42262. Önemli olan, tüm sinüs için hangi değeri kullanırsak kullanalım oranın aynı olmasıdır (not 25357/60000 ≈.42262).

Burada dikkat edilmesi gereken, üçgenin birim çemberdeki 25° açı, yarıçapı 60.000 olan Regiomontanus çemberindeki 25° açıyla oluşturulan üçgene ve aslında herhangi bir yarıçaptaki bir çemberde 25° açıyla oluşturulan üçgene benzer. Sinüs tablosunun kullanışlı olduğu yer burasıdır. Bir sinüs tablosu, tüm sinüs için seçilen değere dayanır. Regiomontanus’un tablosunda, belirli bir açı için, bu açıdan hipotenüsü 60.000 olan bir dik üçgenin oluşabileceğini biliyoruz. O zaman bu açının karşısındaki kenarın 60.000’e oranını bileceğiz. Aynı açıya sahip fakat hipotenüsü farklı olan bir dik üçgenimiz varsa, bu üçgenin hipotenüsü 60.000 olana benzer olacağını ve bu nedenle kenarları arasında aynı orana sahip olacağını biliyoruz. Bu, belirli bir açısı ve kenarı olan bir dik üçgenimiz varsa, sinüs tablosunu kullanarak diğer kenarları bulabileceğimiz anlamına gelir. Ayrıca, bize bir dik üçgenin iki kenarı verilirse, sinüs tablosunu kullanarak üçgendeki tüm açıları bulmak mümkündür.

Üçgenler Üzerine Kitap I’deki birkaç teoreme bakalım ve onlardan bir anlam çıkarabilecek miyiz görelim. Teorem 27’de Regiomontanus şunları belirtir:

When two sides of a right triangle are known, all the angles can be found. If one of the given sides is opposite the right angle, that is sufficient; if not, however, we will find it, also, by the preceding theorem, for without it, it will not be possible to handle the theorem.
Bir dik üçgenin iki kenarı bilindiğinde, tüm açılar bulunabilir. Verilen kenarlardan birinin dik açının karşısında olması yeterlidir; Eğer değilse ,önemli değil, onu bir önceki teoremle de bulacağız, onsuz, teoremi ele almak mümkün olmayacak.

Regiomontanus’un bahsettiği önceki teorem nedir? (Kitabında eski ve iyi bilinen teoremleri yeniden yazdığını unutmayın).

Thus if ∆ ABC is given with C a right angle and sides AB and AC known, then all the angles can be found.
When a circle is described with B, which the given side AC subtends, as center and side BA as radius, then, by Theorem 20 above, AC will be the sine of its adjacent arc, which is opposite the angle,ABC, that we seek.
Böylece ∆ ABC, C ile bir dik açı ve AB ve AC kenarları biliniyorsa, o zaman tüm açılar bulunabilir.
Bir daire, verilen AC kenarının denk geldiği B açısı ile merkez ve BA kenarı yarıçap olarak tanımlandığında, yukarıdaki 20. Teorem ile AC, komşu yayının sinüsü olacaktır; aranmalıdır.

Regiomontanus, aradığımız ABC açısını nasıl bulacağımızın bir açıklaması olan “mekanik” dediği şeyle devam eder.

The mechanics: Take the value of the side subtending the right angle as the first number, and take the value of the side opposite the desired angle for the second number, while the value of the whole sine is the third number. Then multiply the second by the third and divide the product by the first, for the sine of the arc opposite the desired angle will result.
Mekanik: İlk sayı olarak dik açıya denk gelen kenarın değerini alın ve ikinci sayı için istenen açının karşısındaki kenarın değerini alın, tüm sinüsün değeri ise üçüncü sayıdır. Ardından ikinciyi üçüncüyle çarpın ve çarpımı birinciye bölün, istenen açının karşısındaki yayın sinüsü ortaya çıkacaktır.

Bu talimatları kullanarak, “istenen açının karşısındaki yayın sinüsü” için bir denklem yazın. Yayı s, “birinci sayı” r, “ikinci sayı” y olarak adlandırın ve “üçüncü sayı”nın, tüm sinüsün 60.000 olduğunu unutmayın.

From the table of sines you may determine that arc, whose value equals the desired angle. If you subtract this angle from the value of a right angle, the number that remains is the second acute angle.
Sinüs tablosundan, değeri istenen açıya eşit olan yayı belirleyebilirsiniz. Bu açıyı bir dik açının değerinden çıkarırsanız, kalan sayı ikinci dar açıdır.

Şekil 2’deki sinüs tablosunu kullanarak, AB=20, AC=12 ve BC=16 ise ABC dik üçgenindeki iki dar açıyı bulun. Sinüs tablosu yalnızca tamsayı açıları için sinüsleri listelediğinden, açının sinüsü için elde ettiğiniz değere en yakın olan açıyı bulun.

Regiomontanus’un atıfta bulunduğu tüm sinüs, 1 olarak alınırsa, bugün birim çemberin yarıçapı olarak kabul edilebilir. Regiomontanus’un “birim çemberi” için neden 1 yerine 60.000 değerini kullandığını düşünüyorsunuz? (Tabloda ondalık sayı bulunmadığına, ancak her sinüsün 4 veya 5 anlamlı rakamla listelendiğine dikkat edin).

Bakacağımız bir sonraki teorem, bir dik üçgenin bir kenarı ve bir açısı verilirse, kalan tüm kenarların ve açıların bulunabileceğini açıklar. Regiomontanus’un I. Kitap Teorem 29’da açıkladığı gibi:

When one of the two acute angles and one side of a right triangle are known, all the angles and sides may be found.
If in right ∆ ABC with C the right angle, B is known together with any one side – say, AC – then all its angles and sides may be found.
İki dar açıdan biri ve bir dik üçgenin bir kenarı bilindiğinde, tüm açılar ve kenarlar bulunabilir.
Sağ ∆ ABC’de C ile dik açı, B herhangi bir kenarla birlikte biliniyorsa – diyelim ki, AC – o zaman tüm açıları ve kenarları bulunabilir.

Regiomontanus daha sonra bunun nasıl yapılacağına dair bir örnek vermeye devam ediyor:

For instance, let ABC be given as 36º and side AB as 20 feet. Subtract 36 from 90 to leave 54º, the size of BAC. Moreover, from the table of sines it is found that line AC is 35267 while BC is 48541, when AB, the whole sine, is 60000.
Örneğin, ABC 36º ve AB kenarı 20 fit olarak verilsin. BAC boyutu olan 54º bırakmak için 90’dan 36 çıkarın. Ayrıca, sinüs tablosundan, tüm sinüs AB’nin 60000 olduğu zaman, AC çizgisinin 35267, BC’nin 48541 olduğu bulunmuştur.

Burada benzer üçgenlerin nasıl çalıştığını görebiliriz: 36º’lik bir açı için, hipotenüs 60.000 ise, 36º açının karşısındaki kenar 35.267 olacaktır. Şimdi hipotenüsü 20 olan benzer üçgenimizi sinüs tablosundan elde edilen referans üçgeni ile karşılaştırabiliriz.

AC tarafını içeren, yukarıda açıklanan benzer üçgenlere dayalı bir oran oluşturun. Bu oranı kullanarak AC tarafını bulunuz. Aynısını BC tarafı için de yapın. Regiomontanus örneğinin geri kalanına devam etmeden önce bunu yapın. Resim çizmek faydalı olabilir.

Regiomontanus devam ediyor:

Therefore multiplying 35267 by 20 yields 705340, which, divided by 60000, leaves about 11 whole 45 over 60 . Thus side AC will have 11 feet and 45/60 –that is, three-fourths of one foot. Similarly multiply 48541 by 20, giving 970820, which, divided by 60000, leaves about 16 feet and 11 min.* , the length of side BC.
Bu nedenle, 35267’nin 20 ile çarpılması 705340’ı verir, bu da 60000’e bölündüğünde yaklaşık 11 tam 45/60 bırakır. Böylece AC tarafı 11 fit ve 45/60 – yani bir fitin dörtte üçü olacaktır. Benzer şekilde, 48541’i 20 ile çarpın, 970820’yi elde edin, bu da 60000’e bölündüğünde, yaklaşık 16 fit ve 11 dakika*, yani BC kenarının uzunluğu kalıyor.

Regiomontanus’un kalan iki kenarın uzunluğunu çözdüğünü görüyoruz. Cevabınız onunla aynı fikirde mi?

Regiomontanus ve Sinüs Yasası

Üçgenler Üzerine’nin II. Kitabında, Regiomontanus sinüs yasasını (kendi zamanından önce bilinmesine rağmen) kendi sözleriyle tanıtmaktadır. Teorem I’de şöyle diyor:

In every rectilinear† triangle the ratio of one side to another side is as that of the right sine of the angle opposite one of the sides to the right sine of the angle opposite the other side. As we said elsewhere, the sine of an angle is the sine of the arc subtending that angle. Moreover, these sines must be related through one and the same radius of the circle or through several equal radii. Thus, if ∆ ABG is a rectilinear triangle, then the ratio of side AB to side AG is as that of the sine of AGB to the sine of ABG; similarly, that of side AB to BG is as that of the sine of  AGB to the sine of BAG.
Her doğrusal † üçgende, bir kenarın diğerine oranı, kenarlardan birinin karşısındaki açının sağ sinüsünün diğer kenarın karşısındaki açının sağ sinüsüne oranıdır. Başka bir yerde de söylediğimiz gibi, bir açının sinüsü, o açının altındaki yayın sinüsüdür. Ayrıca, bu sinüsler dairenin bir ve aynı yarıçapı veya birkaç eşit yarıçap aracılığıyla ilişkilendirilmelidir. Böylece, eğer ∆ ABG bir doğrusal üçgen ise, o zaman AB kenarının AG kenarına oranı, AGB’nin sinüsünün ABG’nin sinüsüne oranı gibidir; benzer şekilde, AB kenarının BG’ye olan yönü, AGB’nin sinüsünün BAG’nin sinüsüne olanınki gibidir.

Sinüs yasasını Regiomontanus’un açıkladığı gibi yazın. Modern bir trigonometri ders kitabında belirtildiği gibi sinüs yasasına eşdeğer olup olmadığını kontrol edin.

II. Kitabın Teorem 4’ünde Regiomontanus şunları belirtir:

If in any scalene triangle two angles are given individually with any one of its sides, the other sides are easily measured.
If any two angles of ∆ ABG, having three unequal sides, are given together with one of its sides – for example, AB – then the other two sides can be found.
Herhangi bir skalen üçgende iki açı, kenarlarından herhangi biriyle ayrı ayrı verilirse, diğer kenarlar kolayca ölçülür.
Üç eşit olmayan kenarı olan ∆ ABG’nin herhangi iki açısı, kenarlarından biriyle – örneğin AB – birlikte verilirse, diğer iki kenar bulunabilir.

Teorem 5’te Regiomontos şunları belirtir:

When two sides of a triangle are given together with the angle opposite one of them, the other angles and the third side may be determined.
If such a ∆ ABG has two sides AB and AG known along with ABG, then the other two angles and the third side may be found.
Bir üçgenin iki kenarı birinin karşısındaki açıyla birlikte verildiğinde diğer açılar ve üçüncü kenar belirlenebilir.
Böyle bir ∆ ABG’nin ABG ile birlikte bilinen iki AB ve AG kenarı varsa, diğer iki açı ve üçüncü kenar bulunabilir.

Modern trigonometri ders kitapları, sinüs yasasının bir üçgeni çözmek için geçerli olduğu iki durum olduğunu açıklar (yani, tüm bilinmeyen kenarları ve açıları bulun). Bir üçgenin iki tarafını ve bu taraflar arasında olmayan bir açıyı bildiğimizde, genellikle bir SSA üçgeni olarak adlandırılır. İki açı ve bir kenar bildiğimizde, genellikle ASA üçgeni olarak adlandırılır. Teorem 4 ve 5, sinüs yasasını kullanarak bu tür üçgenleri çözmenin mümkün olduğunu açıklar.

Son Söz

Hem Heath hem de Neugebauer, düzenli bir bilim olarak trigonometrinin başlangıcının Hipparchus’tan birkaç yıl önceye dayandığını öne sürdüler. “Özellikle trigonometrik problemlere yaklaşım için en eski korunmuş kanıt, Aristarchus’un MÖ 250’de yazdığı On the Sizes and Distances of the Sun and the Moon adlı incelemesinde bulunur” (Neugebauer 773). Aristarchus, Sin x < x < tan x eşitsizliklerinin eşdeğeri olan önemli bir eşitsizlikten yararlandı.

Aristarchus, bu tür eşitsizliklerin yardımıyla, bazı özel küçük açı durumlarında trigonometrik fonksiyonların sayısal değerlerini tahmin etti. Birkaç on yıl sonra Arşimet aynı formülü kullandı. el-Biruni, Ptolemy Teoreminin eşdeğer bir versiyonunun emrinde olduğunu gösteren bir Arşimet Lemmasını korumuştur (Neugebauer 773). Menelaus’un çalışmasında, trigonometrik önermelerden birinin Hipparchus’tan birkaç yıl önce yaşayan Apollonius’a atfedilebileceğini öne süren bir açıklama vardır (Heath 253). Tabakhane ( Recherches sur l’hist’inden. De l’astronomik ancienne , s. 64) … sadece Apollonius’un değil, ondan önceki Arşimet’in de bir akor tablosu derlemiş olabileceğini ya da en azından böyle bir derleme.” (Heath 253)

Gördüğümüz gibi, trigonometrinin başlangıcı tarihe kadar izlenebilir. MÖ 1. yüzyılın ortalarında Hipparchus, trigonometriyi uygulamalı bir bilim olarak ele aldığı bilinen ilk kişi ve bir akor tablosu derleyen ilk kişiydi. Menelaus, küresel trigonometri alanını büyük ölçüde geliştirdi.

“MS ikinci yüzyılda trigonometri, Almagest’in I. Kitabında İslami gelişmelerden önceki son biçimine ulaşmıştı ” (Neugebauer, s. 772).

KAYNAKÇA

https://tr.wikipedia.org/wiki/Trigonometri_tarihi

https://sites.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/hunt.html

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/

https://www.britannica.com/science/trigonometry

https://tr.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

http://www.math.utep.edu/Faculty/cmmundy/Math%201508/teaching%20module.pdf

https://cebirgeometri.tr.gg/Trigonometrinin-Tarih%E7esi.htm

https://tr.wikipedia.org/wiki/Menelaus_teoremi

https://en.wikipedia.org/wiki/Empire_of_Trebizond

https://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy