Matematikçilerin Prensi: CARL FRIEDRICH GAUSS

Kutsal Roma Cermen İmparatorluğu’na bağlı Braunschweig kentinde, 30 Nisan 1777’ de, Gebhard ile Dorothea Gauss çiftinin çocuğu olarak dünyaya geldi. Alman kökenli matematikçi, astronom, istatistikçi, fizikçi ve coğrafyacıdır. Sayılar kuramı, diferansiyel geometri, analiz, manyetizma, jeodezi, optik ve astronomi katkıda bulunduğu alanlardan bazılarıdır. Yaşamı boyunca bilime yaptığı olağanüstü katkılardan dolayı Matematikçilerin Prensi ve Antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi olarak da bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok alanına etkisini bırakmıştır ve tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir.

Çocukluk yıllarında dehasını gösteren birçok olay yaşandığı söylenir. En meşhuru ise şöyledir:

“Dikkat çocuklar! Bugünkü probleminiz 1den 100 sayısına kadar olan tüm tamsayıları toplamak. Bir an önce başlayın!” Öğretmenin gözleri sınıfta dolaştı. “Gauss! İtaat etmiyorsun!” Gauss’un yüzündeki ürkek bakış korkuya dönüştü. “Fakat ben bitirmiştim…“ Kızgın öğretmen: “Yalanlarının iki katı sertlikte vurmadan önce şu parlak çözümünü dinleyelim bakalım Gauss!” Gauss titrek bir sesle”1’den 100’e kadar bütün sayıları toplamamızı söylemiştiniz. Onları sırayla toplamak yerine, her iki uçtan başlamanın daha kolay olacağına karar verdim. 1+100 = 101, 2+99 = 101, 3+98 = 101, 4+97 = 101…gerçekte problemde toplamı 101 olan elli çift var. 50 x 101 = 5050 olduğundan problemin cevabı 5050’dir.
Öğretmen hayretle Gauss’a baktı ve sustu. Carl Friedrich Gauss’un bir gün 19. yüzyıl matematiğinin devi olacağını o an anlamıştı.

Yetenekleri 14 yaşındayken Braunschweig Dükü Carl Wilhelm tarafından fark edildi. Fakir bir ailenin çocuğu olan Gauss eğitim hayatı boyunca Dük tarafından desteklendi. 1792-1795 yılları arasında günümüzde Braunschweig Teknik Üniversitesi olarak bilinen yerde, 1795-1798 yılları arasında da Göttingen Üniversitesi’nde eğitimini tamamladı. Gauss bu zamanlarda Yunanca, Latince ve edebiyat eğitimi gördü. 16 yaşında Öklid-dışı geometriler ile ilgili ön çalışmalar yaptı. 17’li yaşlarında sayılar teorisi ispatlarını kritik etti.

18 yaşına gelinceye kadar Lagrange ve Newton’un eserlerinin hepsini okumuştu. Bu süre zarfında ayrıca büyük ölçüde sayılar teorisi üzerine olan Disquisitiones Arithmeticae (Aritmetik Araştırmaları) isimli anıtsal çalışmasını yazdı ve yayınladı.

Gauss Euler, Fermat, Lagrange gibi kendinden önceki büyük matematikçilerin çalışmalarını toparladı ve kendi düşüncelerini ekledi.

Gauss’un bu kitapta kullandığı mantıksal yapı (önce teorem, arkasından kanıt, arkasından teoremin sonuçları), matematik kitaplarında hala kullanılan anlatım standardını belirledi.

Gauss, bu kitapta kısa notlar şeklinde değindiği pek çok konuyu (karmaşık sayıların çarpımı gibi) sonradan daha ayrıntılı olarak araştırmış, fakat bulduğu sonuçların hepsini yayımlamamıştır.

Gauss’un en gurur verici keşiflerinden biri on yedi kenarlı bir çokgenin yalnızca işaretsiz bir cetvel ve pergel kullanılarak nasıl çizilebileceğini bulmasıydı. Bu keşfi ile kenar sayısı bir Fermat asalı olan her düzgün çokgenin, sadece pergel ve cetvel kullanılarak çizilebileceğini kanıtladı. Bu tür cetvel ve pergel problemleri Antik Yunan’dan beri matematikçileri meşgul etmekteydi, dolayısıyla bu keşfin önemi büyüktü. Gauss bu başarısından o kadar memnun oldu ki, mezar taşına bir düzgün on yedigenin oyulmasını vasiyet etti. Ne var ki, daireye çok yakın bu şeklin oyulması zor olacağından, vasiyetini yerine getirecek bir taş ustası bulunamadı. Günümüzde Gauss’ un doğduğu şehir olan Braunschweig‘ta on yedi köşeli bir kaide üzerine yükselen bir heykeli bulunmaktadır.

1796 Gauss için oldukça verimli bir yıl oldu. Düzgün çokgenlerle ilgili keşfinden bir ay kadar sonra, yine kendi keşfi olan modüler aritmetik fikrini kullanarak, sayılar kuramında “karesel karşılıklılık ilkesi” olarak bilinen teoremi kanıtladı. İlk olarak Euler ve Legendre tarafından ortaya atılmış ama kanıtlanamamış olan bu teorem, ikinci dereceden denklemlerin çözülebilirliğinin belirlenmesini sağlıyordu. Yine aynı yıl içinde Gauss, asal sayıların tam sayılar arasındaki dağılımına ilişkin önemli bir sonuç buldu. Bundan kısa süre sonra da her tam sayının en fazla üç üçgensel sayının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtladı.

Bir üçgensel sayı, 1’den n’ye kadar olan n doğal sayının toplamıdır. Bu sayılara üçgensel denmesinin sebebi, bir üçgen şeklinde dizilebilecek eşit çaplı topların sayılarına karşılık gelmeleridir.

Ekim 1796’da ise katsayıları sonlu bir cisimden gelen polinomların çözümleriyle ilgili bir sonuç yayımladı. (Bu sonuç, 150 yıl sonraki Weil varsayımlarının da çıkış noktası olmuştur.)

Gauss, 1799’da bitirdiği doktora tezinde cebirin temel teoreminin bir kanıtını sundu. Bu önemli teorem, karmaşık sayılar üzerine tanımlanmış her polinomun en az bir kökü olduğunu söyler. Gauss’tan önce pek çok matematikçi bu teoremi kanıtlamayı denemiş ama hiçbir kanıt genel kabul görmemişti. Gauss’un kanıtına da o zamanlar henüz kanıtlanmamış olan Jordan eğri teoremini kullandığı için itiraz edildi. Bu itirazlar üzerine Gauss, hayatı boyunca üç değişik kanıt daha sunacak, 1849’daki son kanıtı tüm matematikçilerden kabul görecekti. Gauss bu kanıtlar üzerinde çalışırken, karmaşık sayılar kavramının olgunlaşmasına çok büyük katkıda bulundu.

1801’de İtalyan astronom Giuseppe Piazzi, Ceres asteroidini keşfetti, ama asteroidi ancak 40 gün kadar takip edebildikten sonra kaybetti. 24 yaşındaki Gauss, üç aylık bir çalışmadan sonra, Ceres’in tekrar görülebileceği pozisyonu hesapladı ve 31 Aralık’ta iki ayrı astronom (Franz Xaver von Zach ve Heinrich Olbers), Ceres’i tam Gauss’un söylediği pozisyonda gözlemlediler. Zach, “Doktor Gauss’un zeki çalışması ve hesapları olmasaydı, Ceres’i tekrar bulamayabilirdik” diyerek Gauss’un katkısına teşekkür etti.

O zamana kadar hâlâ Dük’ün verdiği bursla geçinen ve bu durumdan memnun olmayan Gauss, astronomide kariyer yapmayı düşündü ve 1807’de Göttingen Üniversitesi’nde astronomi profesörü ve gözlemevi müdürü olarak çalışmaya başladı. Hayatının sonuna kadar aynı üniversitede çalışacaktı.

Ceres’in keşfi sayesinde gezegen ve asteroidlerin Güneş çevresindeki hareketleriyle ilgilenmeye başlayan Gauss, 1809’da Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (Güneş çevresinde konik kesitler üzerinde hareket eden gök cisimlerinin hareketlerinin teorisi) adlı eserini yayımladı. Bu eser, günümüz bilimlerinde yaygın olarak kullanılan en küçük kareler yöntemini de ayrıntılı olarak ele alıyordu. (Aynı yöntem, 1805’te Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre ve 1808’de Amerikalı matematikçi Robert Adrain tarafından da tanımlanmış ve kullanılmıştı, fakat Gauss bu yöntemi 1795’den beri bildiğini iddia etti.)

Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (Güneş çevresinde konik kesitler üzerinde hareket eden gök cisimlerinin hareketlerinin teorisi)

Yıllar 1805’i gösterdiğinde Gauss matematikten başka, bir kadına sırılsıklam aşık oldu: Johanna Osthoff. Evlendiler, iki çocukları oldu fakat 4 yıl sonra eşi hastalıktan öldü. Kısa bir süre sonra da çocuklarından biri öldü. Sonraki yıl Gauss, üç çocuğu daha olacak olan Minna Waldeck ile evlendi ve mutlu bir ev yaşantısı oldu.

Gauss en karmaşık hesapları aklından yapabilmesiyle de ünlenmişti. Anlatılana göre, Ceres’in izleyeceği yörüngeyi nasıl bu kadar hatasız hesaplayabildiği sorulunca, “logaritma kullandım” cevabını vermiş, logaritma cetvelini nasıl bu kadar hızlı kullanabildiği sorulunca da “cetvele ne gerek var, hepsini kafamda hesaplıyorum!” demiştir.

1818’de Hannover eyaleti için yüzey ölçümleri yapan Gauss, bu ölçümler için helyotropu (güneş ışığı ve aynalar yardımıyla doğrultu gözlemleri yapmaya yarayan aygıt) icat edip kullandı. Bu cihazın resmi, eski Alman markına basılmıştır.

Gauss, Hannover’de yaptığı yüzey ölçümleri sırasında, ölçüm hatalarının istatistiksel dağılımını veren ve daha önce astronomi araştırmalarında da kullandığı normal dağılım fikrini kafasında iyice belirginleştirdi. Günümüzde normal dağılıma Gauss dağılımı da denmektedir. Ayrıca bu ölçümler Gauss’un diferansiyel geometriye de (eğriler ve yüzeylerle ilgilenen bir matematik dalı) ilgi duymasını sağladı. 1828’de bu matematik dalının önemli teoremlerinden biri olan theorema egregium’u kanıtladı.

Gauss, bazı buluşlarını diğer bilim adamlarından önce yaptığı halde yayınlamadı. Ona göre bir çalışmanın yayımlanabilmesi için olgunlaşması gerekiyordu. Bazılarına göre, tüm buluşlarını zamanında yayınlasaydı matematik bilimi elli yıl daha önde olabilirdi.

Örneğin; Gauss, Öklit dışı geometrilerin varlığını keşfettiğini, ama tepkilerden çekindiği için fikirlerini yayımlamadığını iddia etmiştir. Gauss’un yakın arkadaşı Farkas Bolyai’nin oğlu János Bolyai, 1832’de Öklit dışı geometrilerle ilgili eserini yayımladığında, Gauss Farkas Bolyai’ye bir mektup yazdı ve “eseri övmek kendimi övmek gibi olur, çünkü eserin içeriği son 30-35 yıldır benim kafamda dolaşan fikirlerle neredeyse birebir örtüşüyor” dedi. Bu kanıtsız iddia, János Bolyai ve Gauss’un arasının açılmasına sebep oldu. Gauss’un notları ve mektuplarından anlaşıldığı kadarıyla, Öklit dışı geometrilerle ilgili temel fikirleri János Bolyai’den önce keşfettiği doğrudur.

1831 yılında Gauss, fizik profesörü Wilhelm Weber’le beraber çalışmaya başladı. O günlerde büyük bir karmaşa yaratan elektromanyetizma teorisini yeniden ele aldı. 1832 yılında manyetik olayların ölçülmesini olanaklı kılan sistemi geliştirdi. Ayrıca elektromanyetik yüklerin etkileri hakkında çok önemli teoremlere ulaştı. 1833’te manyetik kuvvetlerle ilgili yazdığı bir makalede manyetizmanın üç temel ölçümünü belirtti: Kütle, uzunluk ve zaman. Dünya’nın manyetik alanıyla ilgili önemli çalışmalar yaptı.

1831 yılında Kaptan James Clark Ross, manyetik kuzey kutbunun Gauss’un hesaplama ile bulduğu yere çok yakın olduğunu tespit etti. Benzer şekilde 1841 yılında da Amerikalı Kaptan Charles Wilkes, manyetik güney kutbunun Gauss’un hesaplama ile bulduğu yere çok yakın olduğunu tespit etti. Uzun yıllar boyunca standart manyetik birimi Gauss olarak kabul edildi.

Gauss istatistik bilimine de önemli katkılar yaptı. 17. Yüzyılda William Petty ve John Gaunt’un Londra’da hazırladığı ölüm vakalarıyla ilgili cetveller, istatistik biliminin ilk temel taşları sayılabilir. Toplanan verilerin daha sistematik incelenmesi, matematiksel istatistiğin doğmasını sağladı.

1833’te Gauss ve Weber ilk elektromanyetik telgrafı icat ettiler ve bu telgrafla gözlemevini fizik enstitüsüne bağladılar. Gauss, hâlâ müdürü olduğu gözlemevinin bahçesine bir manyetik gözlemevi kurulması talimatını verdi ve Weber’le beraber Dünya’nın çeşitli yerlerindeki manyetik alanları ölçmek amacıyla bir “manyetik kulüp” (Alm. magnetischer Verein) kurdu. Gauss’un bu sıralarda geliştirdiği, manyetik alanın yatay yoğunluğunu ölçmeye yarayan metot, 20. yüzyıl ortalarına kadar kullanılmaya devam etti. Gauss ayrıca, Dünya’nın manyetik alanının iç (çekirdek) ve dış (manyetosfer) kaynaklarını ayırmak için gereken matematiksel teoriyi de geliştirdi. Hayatının sonlarına doğru matematiksel yeteneklerinin köreldiğini hissedince edebiyatla ilgilenmeye başladı.

Gauss 23 Şubat 1855’te, 78 yaşındayken, yıllardır yaşadığı Göttingen’de hayata gözlerini yumdu ve bu şehirdeki Albanifriedhof’a gömüldü. Beyni, araştırma için muhafaza edildi ve bugün hâlâ Göttingen Üniversitesi’nin tıp fakültesinde formalin içinde korunmaktadır.

Gauss’un resmi 1989-2001 yılları arasında, bir normal dağılım eğrisiyle beraber, 10 DM banknotlarının üzerine basılır. Almanya’nın Dransfeld kentindeki 51 metrelik betom gözlem kulesinin adı da Gauss Kulesi’dir.