Photo by Angèle Kamp
Bir Grup İçerisinde Aynı Doğum Gününe Sahip 2 Kişi Olma Olasılığı Nedir?
Bazen öyle tesadüfler olur ki şaşırır ve arka planda neler olup bittiğini anlamaya çalışırız. Örneğin bir kişi arka arkaya iki kere piyangoda büyük ikramiyeyi kazanabilir. Ya da günlerce arka arkaya aynı sayı her yerde karşınıza çıkabilir. Çoğu zaman medya bu tür hikayelere ilgi gösterir. Ve olasılıksızlıklardan sonuçlar üretir. Ancak gerçek şu ki, çoğumuz bu tür olayların olasılığını anlamada pek iyi değiliz çünkü bazı yanlış anlamalarla yola çıkıyoruz. Matematik bilmeyenlerin en büyük özelliği rastlantıların oluşma sıklığının çok az sanma eğilimi göstermeleridir. Bu durum aslında bir paradoks olmayan sözde doğum günü paradoksunun da temelini oluşturur.
Herhangi bir grup insanda, bu insanlardan ikisinin aynı doğum gününe sahip olma ihtimalinin ne kadar olduğunu söylersiniz? Yılda 365 gün olduğu için olasılıklar ilk bakışta pek de yüksek görünmüyor. Rastgele bir grubun aynı gün doğmuş iki kişiyi içermesi ihtimali son derece düşük gibi geliyor. Ancak bu doğru değil. Bir gruptaki iki kişinin bir doğum gününü paylaşma olasılığı oldukça yüksektir. Aslında, sadece 23 kişilik bir grupta, bu oran yaklaşık % 50’dir. Bu nasıl olabilir mi diyorsunuz?
Basit bir tespitle çözüme başlayalım: Eğer bir grupta 366 kişi varsa, o gruptaki iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %100 olacaktır. Çünkü 1 yıl içerisinde 365 gün vardır ve eğer ki grup içerisinde 366 kişi varsa, bu grupta 2 kişinin aynı doğum gününü paylaşması kaçınılmazdır.
Peki ya daha küçük gruplarda? Mesela 30 kişilik bir grupta bu olasılığı tekrardan inceleyelim.
Matematiksel hesaplara göre 23 kişilik bir grupta bu olasılık %50 civarındadır.
Peki bunun sebebi ne? Nasıl oluyor da bu kadar az kişinin içinde aynı doğum gününü paylaşan iki kişi olabiliyor?
Bunu doğrudan iki kişinin aynı günde doğma olasılığı üzerinden hesaplayabilirsiniz. Ancak daha basiti, “2 kişinin aynı günde doğmama olasılığı”nı hesaplayıp, bu olasılığı %100’den çıkarmak olacaktır. Zira iki insan ya aynı doğum gününü paylaşacaktır, ya da paylaşmayacaktır (iki olasılığın toplamı %100 olmak zorundadır).
Şimdi biraz daha detaya inelim.
Rastgele 2 kişi düşünün. Aynı doğum gününe sahip olmama olasılıkları 364/365 (%99,72) Mesela biri 14 Mart’ta doğmuş olsun, diğer kişinin 14 Mart hariç herhangi bir günde doğma olasılığı 364/365. Diyelim ki diğer kişi 15 Mart’ta doğdu, bir diğer 3.kişinin bu iki tarih dışında bir günde doğmuş olma olasılığı 363/365.
Matematikte olayların aynı anda gerçekleşme olasılıklarını bulmak için olasılıkları birbirleriyle çarparız. Bu örnekte de bunu kullanacağız. Bizim bunu yapabilme sebebimiz, kişilerden birinin doğum gününün diğerinin doğum gününü etkilemiyor olmasıdır.
Örneğin ilk iki kişinin aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı (365/365)x(364/365) hesabı ile bulunur ve %99.72’ye eşittir. Yani 2 kişilik bu grupta, kişilerin aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı, oldukça yüksek bir olasılık olan %99.72’dir. Yani rastgele iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %100 – %99.72 hesabıyla bulunur ve %0.28’dir. İşte bu nedenle küçük gruplarda aynı doğum gününü paylaşan insan sayısı oldukça azdır.
Bunu eğer 23 kişiye kadar sürdürecek olursanız, şöyle bir hesaplama elde edersiniz:
(365/365)x(364/365)x(363/365)x(362/365)x…x(343/365)
Bu çarpımın sonunda, yani 23 kişilik bir grupta aynı doğum gününü paylaşan 2 kişinin bulunmuyor olma olasılığı 0.4927’dir, ya da %49.27. Bu ihtimali %100’den çıkarırsak sonuç %50.73 çıkar ve bu basit hesap da en başta açıkladıklarımızın doğruluğunu açıkça ispatlıyor.
Bu işlemi 57 kişiye kadar devam ettirdiğinizde aynı doğum gününü paylaşmama olasılığının %1’lere kadar düştüğünü göreceksiniz.
Bir sonraki kalabalık ortama girişinizde herkese doğum günlerini sormayı unutmayın!
KAYNAKÇA
https://mathzeus7.wordpress.com/
Math Trıp 