OYUN TEORİSİ

İktisat, iş hayatı, askeri hareketler v.b alanlarda bazı problemlerin çözümü durumlar analizi ile yapılır. Bu durumlarda birbirine karşı iki veya daha fazla taraf vardır ve tarafların çıkarları birbiriyle çatışır. Gerçek hayatta çatışma durumları, ihtiva ettikleri faktörler sayısının büyüklüğü yüzünden son derece karışıktır ve Analizi çok güçtür. İkinci derecede kalan faktörler ihmal edilerek basitleştirilmiş teorik modeller kurmak gerekir. Bu modellere Oyunlar denir. Bu oyunların kuruluş ve çözümlerini inceleyen bilim dalına ” Oyunlar Teorisi” denir.

TEMEL KAVRAMLAR

1.Çatışma Durumları ve Oyunlar: Bir oyun tamamiyle tarif edilmiş kurallara uygun olarak yürütülmesi dolayısıyla, gerçek bir çatışma durumundan farklıdır. İnsanlar çatışma durumlarına örnek olabilecek modelleri çoktan beri kullanmaktadır. Satranç, dama, kağıt oyunları bunlara örnektir.

2.İki kişilik Sıfır Toplamlı Oyunlar: Menfaatleri çakışan A ve B gibi iki oyuncu göz önüne alalım. Bir oyun dediğimiz vakit A ve B tarafından yapılan hareketlerin teşkil ettiği diziden ibaret olaylar akışını kastedeceğiz.

3.Hareket Çeşitleri: Bir oyun ardarda yapılan hareketlerle oynanır. Her hareket kurallarla gösterilen mümkün seçeneklerden birinin seçilmesinden ibarettir. Her hareket ya kişisel ya da talih hareketi olabilir. Bir satranç oyununda yapılan bir hamle kişisel bir harekettir ve daha önce yapılmış hareketlere bağlıdır. Bir talih hareketi talih olayının sonucu olan imkanlar arasından birinin seçilmesidir.

Oyunun matematik bakımından belirli olması için şans hareketlerinden her birinin değişik mümkün sonuçlarını bilmemiz gerekir.

Tam Bilgili Oyunlar: Oyunlar, her oyuncunun hasmının hareketleri hakkındaki bilgisinin derecesi ve cinsine göre de sınıflara ayrılır. Eğer bir oyunda her oyuncu her hamleyi yaparken daha önce yapılmış olan bütün kişisel veya talih hareketlerinin sonuçlarını biliyorsa böyle bir oyuna tam bilgili oyun denir. Satranç- dama böyle oyunlardır. Poker de oyuncular hasımlarının elerindeki kağıtları bilmez. Pratikteki çatışma durumlarının çoğu tam bilgili oyunlar değildir, zira bir hasmın hareketlerinin bilinmemesi çoğunlukla bir çatışma durumunun ilk unsurudur.

Stratejiler:

Oyunun devamı sırasında ortaya çıkabilecek bütün durumlar için bu oyuncunun seçişlerini belirten kuralların tam cümlesidir. Strateji önceden belirleneceği gibi, oyunun haline uygun olarak hareketlerini teker teker de seçebilir. Strateji kavramının bir anlamı olması için o oyunda kişisel hareketler bulunmalıdır. Rulet gibi sırf talih oyunlarında hiç bir strateji yoktur. Strateji sayısına bağlı olarak bir oyun ya sonlu ya da sonsuz olur.

mxn Oyunlar:

Eğer bir oyunda A oyuncusu için n tane mümkün strateji varsa ve B oyuncusu için m tane mümkün strateji varsa, bu oyuna bir nxm oyun denir.

Yazı-Tura’nın havaya atılması süretiyle yapılması, oyunlar teorisinin ana kavramlardan birini, karma stratejiler kavramını sezgi ile elde etmiş oluruz. Karma strateji, sade stratejilerin rastgele, fakat belli bir oranda karıldığı bir stratejidir.

Örnek: A ve B oyuncularından her biri bağımsız olarak ve aynı zamanda 1, 2 ve 3 sayılardan her birini yazsın sayıların toplamı tek ise B o kadar parayı rakibinden alıyor.

(Tüm sayılara +5 ekledim)

Optimal Strateji:

Oyunlar teoreminin amacı bir çatışma durumunda oyuncular için rasyonel hareket yollarını incelemektir. Eğer oyun bir çok defalar tekrar edilirse, bir optimal strateji mümkün en büyük ortalama kazancı garanti eder.

Önemli husus şudur. Rakibimizin en az bizim kadar akıllı olduğunu kabul edip elinden gelen her şeyi yapacağını bilmemiz gerekmektedir. Bu yüzden, gerçek bir stratejide mevcut tehlike unsurlarını hesaba katmadığımız gibi, oyuncuların yapabileceği yanlış hesapları da hesaba katmıyoruz. Karışık bir olayın herhangi bir matematiksel modelinde olduğu gibi oyunlar teoreminde önemli sınırlamalar vardır. En önemli kazançları gösteren sayıların tek bir şekilde belli olmasıdaır.

Stratejinin Seçilişi

Minimaks Prensibi

mxn oyunu göz önüne alalım. Genel olarak i harfini kendi stratejilerimizden biri için, j harfini de hasmımızın stratejilerinden biri için kullanalım.

A1 den başlıyarak bize açık olan her birini ard arda inceleyelim. Ai stratejisini seçersek, hasmamızın buna aij

mümkün olduğu kadar küçük olduğu Bj strateji ile cevap verebileceğini hesaba katılan i tesbit edilince, dikkatimizi

sayılarının en küçüğüne çevirmeliyiz.

sayılarının en küçüğüne bakarız.

Ai Stratejisi seçersek, bu takdirde hasmımızzın akıllı olduğunu kabul etmek şartıyla,

den fazla kazanmayı bekliyemeyiz.

Mümkün olduğu kadar ihtiyatlı davranmak, yani hiç bir riske girmemek istiyorsak, kendisi için

nin maksimum olduğu Ai stratejisini seçmeliyiz.

(21)

sayısına oyunun alt değeri veya maksimini denir.

Tek bir stratejiye bağlandığımız taktirde,

değeri garanti edebileceğimiz en büyük değerdir.

‘ya oyunun üst değeri veya minimaksi denir.

Eyer Noktası ve Çözümleri:

Minimaks stratejilerin kararlı olduğu bazı oyunlar vardır. Bunlar alt ve üst değerleri birbirine eşit olan oyunlardır.

ise bu değere oyunun değeri denir.

Geometride bir yüzey üzerinde bir doğrultuda max, diğer doğrultuda min olan noktaya eğer noktası denir.

Bir eyer noktası olan oyunlar sınıfının teorik ve pratik büyük önemi vardır. Özellikle mükemmel bilgili her oyunun bir eyer noktası olduğu ve dolayısıyla bir çözümü olduğu ispat edilmiştir.

Bu demektir ki her iki taraf için bir optimal stratejiler çifti vardır ve bunlar için ortalama kazanç oyunun değerine eşittir. Eğer mükemmel bilgili bir oyun sadece kişisel hareketleri ihtiva ediyorsa, optimal stratejinin kullanılması kazancı tek bir şekilde belirler ve bu kazanç oyunun değerine eşittir.

Eyer Noktası Olmayan Oyunlar

Karma Stratejiler Esas Teorem:

Sonlu oyunlar arasında bir eyer noktası olanlar nisbeten bulunur. Eşit olmayan alt ve üst değerler bulmak daha mümkündür.

Bir kısım stratejileri rasgele sıralayarak

dan daha büyük bir ortalama kazanç elde edebilir miyiz?

Belli bir oranda kullanılmış stratejilerinin rasgele bir sıralanışından ibaret böyle bileşik stratejilere karma stratejiler denir.

Sade stratejilerle birlikte karma stratejiler de kullanılırsa, her sonlu oyunun bir çözümü olduğu görülür. Bu her sonlu oyunun bir optimal stratejiler çifti vardır, o şekildeki ortalama kazanç oyunun değerine eşittir ve öteki kendi optimal stratejisine bağlı kaldı halde oyunculardan biri kendi optimal stratejisinden ayrılırsa sadece kaybeder. Bu iddia 1928 yılında John von Neumann tarafından ispat edilmiş ve oyunlar teoreminin esası olmuştur.

Kısaca da olsa Oyun Teorisinden bahsetmeye çalıştım. Umarım oyun teorisine giriş yapmanız için bir vesile olmuşumdur.