Sabun Köpüklerinin Matematiği ve Pla­teau Kanunları

Photo by Andrew Wulf

Yüzyıllar boyu matematikçiler doğanın harikalığını açıklayan birçok kural bulmuşlardır. Şüphesiz ki bunlardan biri sabun köpüklerini anlamamızı sağlayan Plateau Kanunlarıdır.  

Sabun köpükleri sabunlu suyun içi boş bir küre oluşturacak şekilde havayı çevrelemesiyle oluşur. Yanardöner bir yüzeye sahip olan son derece ince tabakalardır. 

Sabun KÖPÜKLERİ NEDEN KÜRESEL FORMDADIR?

Hava kabarcıklarında içerine hapsolmuş hava molekülleri ile dışarıdaki hava molekülleri arasında bir etkileşim vardır. Bu ikisi arasında arasında zıt dengeli bir baskı söz konusudur. İçerideki hava molekülleri dışarıdakiler ile teması minimumuma indirebilecek şekilde kümelenirler. Sonuç olarak ortaya çıkan şekil küreseldir.

Köpükler küresel değil de üçgen, kare, dikdörtgen formunda olsaydı ne kadar eğlenceli olurdu değil mi? Ne yazık ki bu mümkün değil. Doğadaki her şey gibi sabun köpükleri de en az enerjiyi harcayacak formda olma eğilimindedir. Yüzeydeki gerilimin en aza inmesi için de hacmi çevreleyen yüzey alanını azaltmak gerekir. Küre ise daha küçük bir yüzey alanına sahip belirli bir hacmi kapsayan tek şekildir.

Bunu şöyle açıklayabiliriz. Elimizde hacmi santimetreküp olan bir olan bir küremiz ve aynı hacimde beş Platonik katımız olsun. Küremizin yüzölçümü 48.4 santimetrekare olacaktır. Oysa ki tetrahedron (4 yüzlü) 71.1, küp (6 yüzlü) 60.0, oktahedron (8 yüzlü) 57.2, Dodekahedron ( 12 yüzlü) 53.2 ve ikosahedron (20 yüzlü) 51.5 santimetre kare yüzey alanına sahip olacaktır. Şekil dikkat ettiyseniz küreye yaklaştıkça yüzey alanı küçülmektedir.

Baloncukların neden küreler olduğunun mantığını ve fiziği takip etmek zor değildir. Ancak kürenin belirli bir hacim için minimum alana sahip yüzey olduğunu matematiksel olarak kanıtlamak şaşırtıcı derecede zordur. Aslında tam bir kanıt 1884’te gelmiştir. Bunu anlamak için tarihte yolculuğa çıkalım.

Kraliçe Dido Problemi

Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdü­ğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afri­ka’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat bu toprak yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte olmalıdır. Bunun üzerine Dido

Dido, öküz derisini ince şeritler halinde kesmeye başladı, onları uçlarından tutturdu ve bir krallık kurmaya yetecek kadar geniş bir alanı çevreledi.

Bütün bunlar efsane, ama matematik problemi gerçek. Uzun bir şeridi mümkün olduğu kadar geniş bir alanı kaplayacak şekilde nasıl düzenlemelisiniz? Cevap basit: bir daire içinde. Bunun neden olduğuna dair bir sezgi elde etmek için bir kare düşünün. Kenarlarını dışarı doğru şişirerek kapladığı alanı arttırabiliriz. Onları olabildiğince düzenli bir şekilde şişirirsek, köşeleri düzleştirirsek, bir daire elde ederiz. Bu “dışarı çıkarma” tekniğini kullanarak herhangi bir şeklin alanını artırabiliriz ve sonunda her zaman bir daire elde ederiz.

Cevap sezgisel olarak açıktır, bu nedenle matematikçilerin, çemberin gerçekten de belirli bir çevre için maksimum alanı kaplayan şekil olduğunu kanıtlamalarının ne kadar zaman aldığı şaşırtıcıdır. 

Bu problemin çözülüp çözülemediğinden kesin olarak emin olamasak da Dido problemi 19. yüzyılını başında Jakob Steiner’ın konuyu ele almasına kadar tam olarak cevaplanamamıştı. Devamında başka matematikçiler Steiner tarafından ortaya atılan fikirleri geliştirdiler ve sonucunda Belçikalı fizikçi Joseph Plateau konu ile ilgili bir dizi yasa geliştirdi.

Pla­teau kanunları

Plateu’nun yaptığı deneysel çalışmalar onu dört sonuca ulaştırmıştı:

  • Bir sabun köpüğünün zarı düzgün parçalar topluluğun­dan oluşur.
  • Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeyle­rinin ortalama eğimi) sabittir.
  • Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana geti­rir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
  • Ortaya çıkan altı eğri bir­birlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu nokta­da her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).

Bu kurallar ne kadar karmaşık olurlarsa olsunlar tüm sabun baloncuklarının geometrik özelliğini açıklamaktadır.

Anlatılana göre Plateau bu kurallara uymayan bir baloncuk bulmak için oldukça fazla uğraş vermiş olsa da her seferinde elde ettiği sonuçlar, ortaya koyduğu kurallar ile tam bir uyum göstermişti. Belki de asla dikkat etmeyeceğimiz sabun köpükleri yıllarca matematikçileri uğraştırmış ve sonucunda bir kanun oluşmuştur.

KAYNAKÇA

https://undergroundmathematics.org/calculus-of-powers/queen-dido

https://en.wikipedia.org/wiki/Plateau%27s_laws

http://www.olaganustukanitlar.com/hava-kabarciklari-neden-yuvarlak-olur/

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Connecting to %s