BAĞINTI NEDİR?
Matematikte iki kümenin kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesi bağıntı olarak tanımlanır. Bir kümedeki bir öğeyi başka bir kümedeki bir öğeye götürür. Yâni iki öğe arasında bir bağ kurar.
Bağıntı Kavramı Tarihçesi
Mantık Tarihi içerisinde bağıntı kavramı ilk kez, Aristoteles’in (M.Ö.384-322) mantık üzerine düşüncelerini sistemleştirdiği Organon isimli çalışmasının Kategoriler bölümünde karşımıza çıkmaktadır. Aristoteles bu bölümde, cevher, nicelik, nitelik, bağıntı, yer, zaman, durum, iyelik, etki ve edilgi şeklinde sıraladığı on temel yüklem tipini vermiştir. Tüm ifadelerin basit ve karmaşık olmak üzere iki gruba ayrılabileceğini, her basit ifadenin ise ya bir cevheri ya bir niteliği ya da diğer yüklem tiplerini yani kategorilerden herhangi birini gösterdiğini söyleyen Aristoteles özellikle cevher ve nitelik kategorileri üzerinde durmuş, diğer kategorileri ve dolayısıyla bağıntı kategorisini ayrıntılarına girmeksizin açıklamakla yetinmiştir.
Aristoteles’in Organon’da bağıntılar konusuna değindiği diğer bir bölüm ise Topikler’dir. Bu bölümde genel olarak kıyas konusu üzerinde duran Aristoteles, bu konuyla ilişkili olarak, ayrıntılı olmasa da önermeler mantığı ve bağıntılar mantığına ilişkin düşüncelerini de aktarmıştır.
Çalışmalarına bakıldığında, Aristoteles’in, bağıntı kavramını herhangi bir yüklem tipi olarak gördüğü ve bu kavramı sözü edilen bağlam dışında çok fazla dikkate almadığı söylenebilir.
Aristoteles’ten 17. yy.’a kadar geçen süre içinde bağıntı kavramı genel olarak sadece Aristoteles’in belirlediği çerçeve içerisinde ele alınabilmiştir. 17. yy.’da başlayan ve mantık tarihinde bir dönüm noktası olarak gösterilen Cebirsel Mantığın (Algebra of Logic) da hazırlayıcısı sayılabilecek çalışmalar içerisinde bağıntı kavramı, tanımı, işlevi ve mantıkta gösterimi konusununda farklı şekillerde incelenmiştir. Bu dönemde, bağıntı kavramını inceleyen ilk önemli çalışma olarak, Joachim Jungius’un bağıntıların bazı özelliklerini tartıştığı Logica Hamburgensis (1638) isimli çalışması gösterilebilir. Bu eser, dönemin en önemli matematikçilerinden ve filozoflarından sayılan Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) tarafından da oldukça önemli bir çalışma olarak değerlendirilmiştir. Leibniz, mantık konusunda Aristotlesçi düşünceden önemli ölçüde etkilenmiş olsa da ondan farklı olarak, özellikle Jungius’un bağıntı konusundaki incelemelerine temel olan “Titus Caius’tan daha büyüktür, Caius Titus’tan daha küçüktür” argümanından hareketle bağıntıları sıfatların birleşmesi olarak değerlendirmiştir. Leibniz mantık tarihinde bağıntı teorisinin geliştirilmesinin gerekliliğine işaret etmiş olması açısından büyük önem taşımaktadır.
17. yy’da, bağıntı konusundaki çalışmalar açısından en önemli gelişmelerinden biri ise, cebir ilkeleri doğrultusunda yapılan sembolik mantık çalışmalarının; kavramların, sınıfların, özelliklerin olduğu gibi bağıntıların da harflerle ya da grafiklerle gösterilmesinin önünü açmış olmasıdır.
Bir 18 yy. mantıkçısı olan Gottfried Ploucquet (1716-1790), Leibniz’in mantık çalışmalarından oldukça etkilenmiş bir düşünür olarak sembolik mantık alanında pek çok konu üzerinde çalışmış, özellikle de bağıntıların grafik yoluyla gösterilmesi konusuyla uğraşmıştır. Yine bu yüzyılın mantıkçılarından biri olan Johann Heinrich Lambert da (1728-1777) bağıntıların gösterimi konusunda çalışmış bir başka düşünür olarak dikkat çekmektedir.
19. yy.’a gelindiğinde, Cebirsel Mantık konusunda oldukça önemli gelişmeler kaydedilmeye başlanmıştır. Bu mantık alanı her ne kadar 17. yy. daki mantık çalışmaları tarafından hazırlanmışsa da ancak 19. yy.da, bir İngiliz matematikçisi ve mantıkçısı olan George Boole (1815-1864) tarafından sistemleştirilmiştir. Bu dönemde Agustus De Morgan’ın (1806-1871) çalışmaları da cebirsel mantığın gelişmesine büyük katkı sağlamış, bu iki düşünürün çalışmalarına paralel bir biçimde bağıntı konusu da yeni bir perspektif kazanmıştır.
Dönemin diğer bir önemli filozofu olarak gösterilen Charles Sanders Peirce (1839-1914), Boole ve De Morgan’ın çalışmalarından önemli ölçüde yararlanmış fakat özgün çalışmalar da ortaya koymuştur. Peirce, özellikle bağıntı kavramının incelenişi açısından getirdiği yeniliklerden ötürü önem taşımaktadır. İlk kez De Morgan tarafından ele alınmış olan geçişlilik (transitivity) bağıntı özelliği ile bakışımsızlık (asymmetry) bağıntı özelliğini incelemiş, bunların formal olarak gösterimleri ve birbirleriyle ilişkileri üzerinde çalışmıştır. Mantıksal gösterim konusunda geliştirdiği ikonik sistem, sağlığında yayımlanmamış, bu nedenle 1960’lara kadar çok az tanınabilmiştir. Cebirsel Mantığa çok önem verilen bir dönemde, mantığı matematiğin bir dalı olarak yorumlayan düşünürlere karşı çıkan Peirce, bu doğrultuda geliştirmiş olduğu notasyon ve bağıntıların önemine ilişkin doktrini ile, Giuseppe Peano (1858-1932) ve özellikle Ernst Schröder (1841-1902) üzerinde büyük etki yaratmıştır.
19. yy.’ın sonlarında, Gottlob Frege (1848-1925) Begriffsschrift (1879) isimli çalışmasında, matematikteki fonksiyonları temel alarak yüklemler için yeni bir notasyon oluşturmuş, Lojistik (Logistics) ismi verilen yeni bir mantık anlayışı geliştirmiştir. Bu anlayış, bağıntı konusunun da daha farklı bir biçimde değerlendirilmesi sonucunu doğurmuştur. Frege, bu eserinden sonra, özellikle Boole metodunu eleştiren, bununla birlikte kendi metodunun geçerliliğini göstermeye çalışan eserleri kaleme almıştır. Frege’nin bu çalışmaları yaparken, Boole metodunu, ondaki hataları düzeltmeye ve geliştiren ve çalışan Peirce ve Schröder gibi mantıkçıların çalışmalarından habersiz olduğu bilinmektedir.
Frege’nin çalışmalarına büyük önem veren Bertrand Russell (1872-1970), onun bazı düşüncelerini, ilk olarak Introduction to Mathematical Logic’de (1903) ve daha sonra Alfred North Whitehead (1861-1947) ile birlikte hazırladığı Principia Mathematica’da (1910-13) tanıtmaya çalışmıştır. Ancak bu eserlerinde notasyon olarak Frege’den ziyade Peirce-Schröder-Peano notasyon sisteminden yararlanmış, bağıntılar ve fonksiyonlar konusunda, özellikle Schröder ve Peirce’ın düşüncelerine yakın bir çizgi izlemiştir.
Yine aynı dönemde Almanya’da, mantıktan ayrı olarak geliştirilen küme teorisi (set theory), Georg Cantor’un (1845-1918) çalışmalarıyla mantığın da kullandığı bir teori haline gelmiş; bu gelişme, hem sembolik mantığın yeni bir bakış açısı kazanmasını hem de bağıntıların gösterimi konusunda yeni bir metodun geliştirilmesini sağlamıştır.
Yine aynı dönemde Almanya’da, mantıktan ayrı olarak geliştirilen küme teorisi (set theory), Georg Cantor’un (1845-1918) çalışmalarıyla mantığın da kullandığı bir teori haline gelmiş; bu gelişme, hem sembolik mantığın yeni bir bakış açısı kazanmasını hem de bağıntıların gösterimi konusunda yeni bir metodun geliştirilmesini sağlamıştır.
Frege’nin düşünceleri bazı önemli matematikçi ve filozoflar tarafından (David Hilbert, Ludwig Wittgenstein) takdir edilmiş olmakla beraber 19. yy.’ın sonu ve 20. yy.’ın ilk yarısında sembolik mantık, Peirce, Schröder, Peano ve Cantor’un çalışmaları doğrultusunda gelişme göstermiştir. Dolayısıyla bağıntı konusu da Fregeci yaklaşımdan ziyade Peirce’nin düşünceleri çerçevesinde ele alınmış, bu dönemde geliştirilmiş ve kullanılmaya başlanmış olan küme teorileri yardımıyla da detaylı bir şekilde incelenmeye başlanmıştır.
Kaynakça
Math Trıp 